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神奇的树状数组

最近在学习位运算,正好把树状数组总结下,也算是能正式给data structure 建个分类。

那么,树状数组到底有什么用呢?诚然,一样没什么卵用的东西我们学它干嘛。

下面举个树状数组的经典应用:区间求和

假设我们有如下数组(数组元素从 index=1 开始):

 var a = [X, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];

我们设定两种操作,modify(index, x) 表示将 a[index] 元素加上x, query(n, m) 表示求解 a[n] ~ a[m] 之间元素的和。如果不了解树状数组(当然假设更不了解线段树等其他数据结构),你可能会很容易地写下如下代码:

var a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];function query(n, m) {  var sum = 0;  for (var i = n; i <= m; i++)    sum += a[i];  return sum;}function modify(index, x) {  a[index] += x;}

Ok,复杂度为O(1)的删改和复杂度为O(n)的查询。如果数据量很大,这样反复的查询是相当耗时的。我们退一步想,如果只有 query(n, m) 这个操作,很容易想到用sum数组预处理前n项的和,然后用 sum[m] - sum[n-1] 获得答案。但是如果要修改 a[index] 的值,因为该项影响所有index之后的sum数组元素,所以如果这样做复杂度变为O(1)的查询和O(n)的删改,并没有什么卵用。

但是这个思路是美好的,我们可以用一个sum数组保存一段特定的区间段的值。假设我们有 a[1] ~ a[9] 9个元素,我们根据一个特定的规则:

sum[1] = a[1];sum[2] = a[1] + a[2];sum[3] = a[3];sum[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];sum[5] = a[5];sum[6] = a[5] + a[6];sum[7] = a[7];sum[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];sum[9] = a[9];

如果要求 a[1] ~ a[9] 的和,即为 sum[9] + sum[8],如果要求 a[1] ~ a[7] 的和,即为 sum[7] + sum[6] + sum[4] ,如果要改变 a[1] 的值,改变sum数组中和 a[1] 有关的项即可(即 sum[1] sum[2] sum[4] sum[8])。 这就是树状数组!实现了O(logn)的查询和删改。但是如何将a数组和sum数组联系起来?


来观察这个图:

令这棵树的结点编号为C1,C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和,那么容易发现(如上所说):

C1 = A1C2 = A1 + A2C3 = A3C4 = A1 + A2 + A3 + A4C5 = A5C6 = A5 + A6C7 = A7C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

这里有一个有趣的性质:设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为 2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax,所以很明显:Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An,算这个2^k有一个快捷的办法,定义一个函数如下即可(求解2^k即求二进制码右边第一位1的值):

int lowbit(int x) {  return x & (-x);}

当想要查询一个SUM(n)(求a[1]~a[n]的和),可以依据如下算法即可:

  1. 令sum = 0,转第二步;
  2. 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;
  3. 令n = n – lowbit(n),转第二步。

可以看出,这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来。

那么修改呢,修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下(给某个结点i加上x):

  1. 当i > n时,算法结束,否则转第二步;
  2. Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。i = i + lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。 对于数组求和来说树状数组简直太快了!

关于这部分的代码,将在下文树状数组的具体三大应用中给出。

关于树状数组,有一点需要注意,为了方便,树状数组的a数组基本都是从 index=1 开始的。


下文中楼主会分析下树状数组的三大应用场景:改点求段,改段求点,改段求段

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